Fonction dérivée

Définition

Soit `f` une fonction définie sur un intervalle `I`.
On dit que `f` est dérivable sur `I` lorsque `f` est dérivable en tout réel `x` de `I`.
On appelle fonction dérivée de `f` sur `I`, et on note \(f'\), la fonction qui, à tout  `x` de `I`, associe le nombre dérivé \(f'(x)\).

Exemple

Soit `f` la fonction carré.
Soit \(x\) un nombre réel et \(h\) un nombre réel non nul.
Le taux de variation de \(f\) entre \(x\) et \(x+h\) est :
\(\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}=\dfrac{(x+h)^2-x^2}{h}=\dfrac{x^2+2xh+h^2-x^2}{h}=\dfrac{2xh+h^2}{h}=\dfrac{h(2x+h)}{h}=2x+h\)
Ainsi, lorsque \(h\) tend vers \(0\), ce taux de variation tend vers \(2x\).
La fonction \(f\) est donc dérivable sur `\mathbb(R)` et sa fonction dérivée est la fonction définie sur `\mathbb(R)` par  \(f'(x)=2x\).